"Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или пути обхода препятствия, – это процесс достижения цели, которая первоначально не кажется доступной." Д.Пойа
Текстовые задачи на уроке математики могут быть использованы для самых разных целей:
-для подготовки к введению новых понятий (в частности, арифметических действий);
-для ознакомления с новыми понятиями, свойствами новых понятий;
-для показа области применимости новых понятий;
-для углубления и расширения формируемых математических знаний и умений;
-для обучения методам и приемам решения задач на разных этапах.
Наиболее распространенный вид работы с задачами на уроке – это решение задач.
Решение задач на уроке может отличаться формой организации деятельности детей, характером и степенью руководства процессом решения, содержанием решаемых задач, способом оформления решения и т. п.
Несколько вариантов организации и содержания решения задач на уроке.
1. Фронтальное (коллективное) решение задачи под руководством учителя.
2. Фронтальное (коллективное) решение задач под руководством учащихся.
3. Самостоятельное решение задачи учащимися.
Самостоятельное решение – один из наиболее распространенных видов работы с задачами на уроке. Однако и здесь возможна ориентация на разные цели: на формирование умения решать задачи определённого вида, решать задачи с помощью определенных средств, приёмов и методов; проводить проверку и самопроверку, оценку и самооценку; использовать при решении задачи свойства действий, вычислительные примеры и т. д. И если первая группа целей ставится на уроках довольно часто, то самопроверка и самооценка значительно реже.
В зависимости от содержания решаемых задач можно выделить следующие виды решения задач:
1. Решение задач с лишними данными.
2. Решение задач с недостающими данными.
3. Решение задач определенного вида при разных классификациях видов (по математической основе: задачи на нахождение суммы, остатка: на нахождение четвертого пропорционального и т. п.; по фабуле: на движение, на куплю-продажу и т. п.)
4. Решение нестандартных задач разных видов (логических, комбинаторных, на смекалку и т. п.)
Все виды решения учащиеся могут выполнять как под руководством учителя и учащихся, так и самостоятельно, как устно, так и с записью в тетрадь. Форма фиксации решения выбирается учителем также в зависимости от того, какая из них предпочтительнее в данном классе для достижения постановления цели.
Другой вид работы – выполнение части решения.
Основные цели выполнения части решения – формирование у учащихся умения выполнять определенный этап решения, обучение общим приемам решения, формирование представлений учащихся об арифметических действиях и др.
Приведем примеры заданий, которые определяют этот вид работы на уроке:
-Сделайте рисунок (чертеж) к этой задаче
-Прочитайте задачу. Представьте то, о чем говориться в задаче, так, чтобы легче было решить. Расскажите, что вы представили.
-Пользуясь схемой разбора задачи от вопроса к данным, составьте план решения данной задачи.
-Известно, что данная задача решается так… (дается запись арифметического решения по действиям). Запишите это же решение в виде выражения, найдите его значение и ответьте на вопрос задачи.
-Проверьте, правильно ли решена эта задача, определив смысл каждого действия (решив задачи другим способом, решив задачу графически, с помощью кружочков и т. п.).
Практика показывает эффективность дополнительной работы над уже решенной задачей.
Назовем виды дополнительной работы с решенной задачей:
1)Измени условие задачи так, чтобы она решалась другим действием (у простых задач).
2)Какой вопрос можно поставить еще, имея данные по условию?
3)Сравните содержание данной задачи с предыдущей.
4)Попробуйте представить решение данной задачи другим способом отображения, например, графически.
5)Какие числовые данные можно заменить или изменить, чтобы появился новый способ решения? (или чтобы один из способов стал невозможен)
6)Исследование решения: сколько способов решения возможны, при каких условиях.
7)Проверка правильности любым известным приемом.
Основным содержанием большинства этих видов работы являются сравнение, сопоставление, анализ, а потому это способствует развитию мышления. Повышает интерес, позволяет учителю целенаправленно формировать компоненты общего умения решать задачи.
Приемы с решенной задачей
1.УСТАНОВЛЕНИЕ СООТВЕТСТВИЯ между содержанием задачи и схематическим рисунком, чертежом, таблицей.
2.ВЫБОР среди нескольких задач той, которая соответствует данному чертежу или схеме.
3.ВЫБОР СХЕМ или рисунков среди предлагаемых, которые соответствуют нашей задаче.
4.НАХОЖДЕНИЕ ошибок в графическом отображении условия задачи.
5.КЛАССИФИКАЦИЯ простых задач по действию их решения, удачно при закреплении смысла выполненных действий.
6.ВЫБОР задач, при решении которых можно применить изучаемый вычислительный прием. Пример. Мы сейчас учились делить двузначное число на двузначное. В какой из предлагаемых задач вы будете применять этот прием?
7.ОПРЕДЕЛЕНИЕ числа арифметических способов, которыми может быть решена данная задача.
8.ОБНАРУЖЕНИЕ ошибок в решении или условии предлагаемой задачи.
9.ОПРЕДЕЛЕНИЕ смысла выражений, составленных из чисел, имеющихся в тексте задачи.
10.РЕШЕНИЕ вспомогательной задачи или цепочки таких задач перед решением трудной.
11.ИСКЛЮЧЕНИЕ из текста задачи лишних данных.
12.ДОПОЛНЕНИЕ содержания задачи недостающими числовыми или словесными данными. Этот вид работы считаю особенно влияющим на развитие сосредоточенного рассматривания условия задач.
13.ВЫБОР из предлагаемых тех задач, которые можно решить устно.
Составление задач самими учащимися
может осуществляться в разных видах работы, с разной степенью полноты.
1) дополнение задачи недостающими данными;
2) постановка вопроса к данному условию;
3) составление задачи по краткой записи, рисунку, чертежу, числовым данным и т. п.;
4) составление задачи, аналогичной данной по способу решений (те, же действия, в том же порядке), по сюжету; с такими же числовыми данными, но с другим решением; аналогичной данной по количеству действий, по величинам, о которых идет речь в задаче;
5) дополнение условия задачи сведениями, меняющими способ решения, но не меняющими результат решения;
6) составление задачи по данной записи решения, по уравнению;
7) составление и решение задачи, обратной данной;
8) устное сочинение «О чем может рассказать данное математическое выражение?».
Многообразие видов и форм работы с задачей на уроке, использование которых сделает встречу учеников с задачами интересной и увлекательной. Важно только помнить, что нет и не может быть раз и навсегда принятого алгоритма работы с задачами на уроке. Вид и форма организации деятельности детей с помощью задач полностью зависит от цели, для достижения которой задача включена в урок.
Составления по задаче математических выражений и равенств.
Для этого представим равенства, которые можно составить по задаче, их смыслы в ситуации задачи, а затем опишем возможные виды работы, их обучающее, развивающее и воспитательное воздействие на учащихся.
Задача 1. Два переплетчика переплетали книги. Первый переплетчик переплетал в среднем по 5 книг в день и переплел всего 75 книг. Второй переплетчик, работая столько же дней, переплетал по 7 книг в день. Сколько всего книг переплели два переплетчика?
Вначале составим равенства в целых числах, и приведем описание смысла соответствующих выражений и их значений. Это не означает, что мы считаем необходимым предъявлять учащимся все равенства. Читателям же представление позволит, во-первых, увидеть многообразие равенств и их смыслов; во-вторых, лучше понять предлагаемые затем виды учебной работы.
1.75 : 5 = 15 (дней).
2.15 · 7 = 105 (книг)
3.7 · 2 = 14 (книг в день)
4.7 + 5 = 12 (книг в день).
5.7 – 5 = 2 (книги в день).
6.75 + 105 = 180 (книг)
7.15 ∙ 2 = 30 (дней).
8.5 ∙ 30 = 150 (книг).
9.5 · 2 = 10 (книг в день)
10.12 ∙ 15 = 180 (книг)
11.2 · 15 = 30 (книг)
12.75 · 2 = 150 (книг)
13.150 + 30 = 180 (книг)
14.105 · 2 = 210 (книг)
15.210 + 150 = 360 (книг)
16.14 · 15 = 210 (книг)
17.360 : 2 = 180 (книг)
18.12 : 2 = 6 (книг в день)
19.6 · 15 = 90 (книг)
20.90 · 2 = 180 (книг)
21.7 ∙ 30 = 210 (книг)
22.210 – 30 = 180 (книг)
23.10 · 15 = 150 (книг)
24.6 · 30 = 180 (книг)
25.15 : 5 = 3 (недели)
26.5 · 5 (раб дн.в нед.) = 25 (кн.за нед.)
27.7 · 5 (раб.дн. в нед.) = 35 (кн.за нед.)
28.35 – 25 = 10 (книг)
29.10 ·3 = 30 (книг)
30.25 + 35 = 60 (книг за неделю)
31.60 · 3 = 180 (книг)
32.30 : 5 = 6 (дней).
33.15 + 6 = 21(дней).
34.5· 21 = 105
35.21 + 15 = 36 (дней).
36.5 · 36 = 180 (кни
1. Задания на составление числовых выражений и равенств по данной задаче.
1.1. Составьте как можно больше числовых выражений с данными задачи и со значениями ранее составленных выражений.
1.2. Вычислите значение каждого выражения и запишите равенства. Определите смысл каждого выражения и его значения. Подготовьтесь к представлению результатов вашей работы друг другу (классу).
1.3. Есть ли среди составленных тобой выражений те, значения которых позволяют ответить на вопрос задачи?
1.4. Выпишите в отдельные столбцы те составленные вами действия, которые имеют смысл по задаче и те, которые, по вашему мнению, не имеют смысла.
1.5. Выпишите из составленных вами выражений (равенств) последовательности действий, составляющие решения задачи. Найдите несколько решений.
1.6. Определите (по задаче) смыслы каждого действия деления (сложения, умножения, вычитания). Чем похожи и чем отличаются смыслы действий деления (сложения, умножения, вычитания)?
1.7. Составьте по 8 разных числовых выражения с каждой парой числовых данных. (С каждым арифметическим действием по два выражения, отличающиеся порядком действий). Какие из этих выражений имеют смысл в ситуации задачи, а какие нет? Вычисли, если можешь, значения выражений. Значения каких выражений ты не можешь вычислить? Почему?
2. Задания по заранее составленным выражениям и равенствам.
2.1 Прочитайте задачу и рассмотрите равенства.
2.2 Запишите пояснения к каждому равенству.
2.3 Выпишите как можно больше последовательностей равенств, задающих решения задачи (выпишите решения задачи).
2.4 Выпишите равенства, в которых оба компонента действия – данные в задаче числа. Какую новую информацию раскрывают эти действия?
2.5. Выпишите такие решения задачи, в которых применена зависимость
2.6. Сравните найденные решения и выделите решение а) содержащее наименьшее количество действий; б) содержащее наибольшее количество действий; в) самое понятное для тебя решение; г) самое непонятное решение; д) самое необычное решение; е) решение, которое больше всего тебе понравилось; ж) решение, которое тебя удивило; з) решения, которые ты бы нашел и без представления тебе равенств; и) решения, которые ты бы без данных равенств не нашел.
2.7. Какую дополнительную информацию об объектах и событиях, описанных в задаче, сообщает каждое равенство?
2.8.Числовое равенство – это записанная на языке математики некоторая информация. Пояснение к равенству – та же информация, записанная на обычном русском языке. Как еще можно представить эту информацию? Представьте ее с помощью предметной модели, геометрической модели, аналитической модели (на рисунке, чертеже – на отрезках, прямоугольниках; в виде формулы).
2.9. На каком языке – математическом или обычном русском информация записывается короче – меньшим количеством знаков? Во сколько раз меньше знаков требует запись на языке математики (на языке числовых равенств), чем на обычном русском языке? Верно ли мнение, что математику изобрели для того, чтобы можно было записывать, сохранять информацию, тратя на запись и на прочтение записи меньше времени?
2.10. К каждому равенству сделайте пояснения в нескольких видах (формах, по-разному). (Это задание может выполняться письменно, а может быть и устно. Для устного пояснения целесообразна коллективная форма работы. Читается равенство. Пояснение к нему устно дает учащийся. Другой учащийся должен дать другое пояснение, следующий – третье, и т.д. Число разных правильных пояснений может подсчитываться.)
2.11. К равенствам (указываются номера равенств) сделайте пояснения с помощью отрезков (чертежа, геометрических построений, рисунка, действий с предметами, …).
2.12. Рассмотрите равенства и пояснения к ним (учащимся предлагается несколько равенств с пояснениями). Выпишите в тетрадь только те равенства, пояснения к которым вам понятны. Можно ли из этих равенств составить запись решения задачи? Если да, то запиши его; если нет, то найди среди предложенных равенств те, которые, возможно, являются недостающими для получения ответа на вопрос задачи.
Выполнение названных заданий может быть организовано по-разному: в коллективной деятельности с выслушиванием всех детских мнений, обсуждением вариантов; в самостоятельной работе с последующим обсуждением или с последующей проверкой; в групповой или парной работе с последующим представлением результатов работы перед классом.
По некоторым задачам можно даже организовывать конкурсы: на составление наибольшего количества имеющих смысл в ситуации задачи равенств, на самое оригинальное равенство; на самое оригинальное, самое грамотное, самое смешное, самое точное пояснение; на наибольшее количество «выуженных» из равенств разных способов решения и др.
Для рассмотрения можно предлагать не все равенства, которые удалось составить, а лишь некоторые, в зависимости от особенностей учащихся класса. Полезно предоставлять детям самим право выбора равенств, с которыми они будут работать.
Варианты организации деятельности учащихся должны полностью зависеть от целей, для достижения которых учитель включает эти виды работы в урок, а также от особенностей класса.
| 
